Sistemas y Señales Biomédicos

Taller Repaso 01: Introducción al procesamiento de Señales

SYSB
Autores/as

Ph.D. Jenny Carolina Castiblanco

Ph.D. Pablo Eduardo Caicedo Rodríguez

Fecha de publicación

20 de febrero de 2025

Descripción

A través de este taller se reforzarán los conocimientos en: señales, transformaciones de la variable independiente, clasificación de señales, ADC y DAC.

Procedimiento

Explique detalladamente el procedimiento para cada uno de los puntos enunciados a continuación.

1. Considere la señal

\[x(t) = \begin{cases} t + 1, & -1 \leq t \leq 0 \\ 2, & 0 < t \leq 2 \\ 1, & 2 < t \leq 3 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}\] Dibuje:

Solución

Se grafican las transformaciones solicitadas en Python con Matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def x_t(t):
    return np.piecewise(t, [(-1 <= t) & (t <= 0), (0 < t) & (t <= 2), (2 < t) & (t <= 3)],
                         [lambda t: t + 1, 2, 1, 0])

t = np.linspace(-2, 4, 1000)
plt.plot(t, x_t(t), label='x(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.legend()
plt.show()

2. Determine si las siguientes señales son periódicas y encuentre su periodo

Solución

Analizamos si \(\frac{f_0}{f_s}\) es racional.

  1. \(x(t) = \cos(2t) + \cos(\pi t)\)
    • Períodos: \(T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi\), \(T_2 = \frac{2\pi}{\pi} = 2\)
    • Mínimo común múltiplo: **Período = 2*
  2. \(x(t) = e^{-j(4\pi/3)t} + e^{j(2\pi/5)t}\)
    • Se buscan los períodos fundamentales.
    • No es periódica porque las razones de frecuencias son irracionales.


5. Para una señal análoga \(x_a(t) = \sin(600\pi t) + 3\sin(480\pi t)\), encontrar:

Solución

  1. Período de la señal:

    • Frecuencias: \(f_1 = 300Hz\), \(f_2 = 240Hz\)
    • MCM de \(\frac{1}{300}\) y \(\frac{1}{240}\)T = 1/60 s
  2. Frecuencia de muestreo

    • Teorema de Nyquist: \(f_s > 2f_{max} = 600Hz\)
  3. Señal muestreada:

    fs = 600  # Hz
    n = np.arange(0, 100)
    xa_n = np.sin(600*np.pi*n/fs) + 3*np.sin(480*np.pi*n/fs)
    plt.stem(n, xa_n)
    plt.show()

6. Muestreo y cuantización

Solución

  1. Frecuencia de muestreo:
    • \(T_m1 = 12.5ms\)\(f_s = 80Hz\)
    • No cumple Nyquist → No se puede reconstruir
  2. Muestreo a 8 veces Nyquist:
    • \(f_s = 5760Hz\)
    • Se evalúa si \(\frac{f_0}{f_s}\) es racional → Sí es periódica
  3. Cuantización (4 bits, rango 0-5):
    • Paso de cuantización: \(\Delta = \frac{5}{2^4}\)
    • Se discretiza la señal según niveles de cuantización.
import numpy as np
levels = np.linspace(0, 5, 16)
quantized_signal = np.digitize(xa_n, levels) * (5 / 16)
plt.stem(n, quantized_signal)
plt.show()

Fin del taller.