Sistemas y Señales Biomédicos

Taller Repaso 01: Introducción al procesamiento de Señales

SYSB

Descripción

A través de este taller se reforzarán los conocimientos en: señales, transformaciones de la variable independiente, clasificación de señales, ADC y DAC.

Procedimiento

Explique detalladamente el procedimiento para cada uno de los puntos enunciados a continuación.

1. Considere la señal

\[x(t) = \begin{cases} t + 1, & -1 \leq t \leq 0 \\ 2, & 0 < t \leq 2 \\ 1, & 2 < t \leq 3 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}\] Dibuje:

Solución

Se grafican las transformaciones solicitadas en Python con Matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def x_t(t):
    return np.piecewise(t, [(-1 <= t) & (t <= 0), (0 < t) & (t <= 2), (2 < t) & (t <= 3)],
                         [lambda t: t + 1, 2, 1, 0])

t = np.linspace(-2, 4, 1000)
plt.plot(t, x_t(t), label='x(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.legend()
plt.show()

---

2. Determine si las siguientes señales son periódicas y encuentre su periodo

Solución

Analizamos si \(\frac{f_0}{f_s}\) es racional.

1. \(x(t) = \cos(2t) + \cos(\pi t)\)
   • Períodos: \(T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi\), \(T_2 = \frac{2\pi}{\pi} = 2\)
   • Mínimo común múltiplo: **Período = 2*
2. \(x(t) = e^{-j(4\pi/3)t} + e^{j(2\pi/5)t}\)
   • Se buscan los períodos fundamentales.
   • No es periódica porque las razones de frecuencias son irracionales.

…

---

5. Para una señal análoga \(x_a(t) = \sin(600\pi t) + 3\sin(480\pi t)\), encontrar:

Solución

1. Período de la señal:

   • Frecuencias: \(f_1 = 300Hz\), \(f_2 = 240Hz\)
   • MCM de \(\frac{1}{300}\) y \(\frac{1}{240}\) → T = 1/60 s

2. Frecuencia de muestreo

   • Teorema de Nyquist: \(f_s > 2f_{max} = 600Hz\)

3. Señal muestreada:

   fs = 600  # Hz
   n = np.arange(0, 100)
   xa_n = np.sin(600*np.pi*n/fs) + 3*np.sin(480*np.pi*n/fs)
   plt.stem(n, xa_n)
   plt.show()

…

6. Muestreo y cuantización

Solución

1. Frecuencia de muestreo:
   • \(T_m1 = 12.5ms\) → \(f_s = 80Hz\)
   • No cumple Nyquist → No se puede reconstruir
2. Muestreo a 8 veces Nyquist:
   • \(f_s = 5760Hz\)
   • Se evalúa si \(\frac{f_0}{f_s}\) es racional → Sí es periódica
3. Cuantización (4 bits, rango 0-5):
   • Paso de cuantización: \(\Delta = \frac{5}{2^4}\)
   • Se discretiza la señal según niveles de cuantización.

import numpy as np
levels = np.linspace(0, 5, 16)
quantized_signal = np.digitize(xa_n, levels) * (5 / 16)
plt.stem(n, quantized_signal)
plt.show()

---

Fin del taller.